Что обозначает средняя квадратическая ошибка параметра

Тема: Элементы теории ошибок измерений.

1. Классификация ошибок измерений

_______ Измерения в геодезии рассматриваются с двух точек зрения: количественной, выражающей числовое значение измеренной величины, и качественной, характеризующей ее точность. Из практики известно, что даже при самой тщательной и аккуратной работе многократные (повторные) измерения не дают одинаковых результатов. Это указывает на то, что получаемые результаты не являются точным значением измеряемой величины, а несколько отклоняются от него. Значение отклонения характеризует точность измерений.

_______ При геодезических измерениях неизбежны ошибки. Эти ошибки бывают грубые , систематические и случайные .

_______ К грубым ошибкам относятся просчеты в измерениях по причине невнимательности наблюдателя или неисправности прибора, и они полностью должны быть исключены. Это достигается путем повторного измерения.

_______ Систематические ошибки происходят от известного источника, имеют определенный знак и величину и их можно учесть при измерениях и вычислениях.

_______ Случайные ошибки обусловлены разными причинами и полностью исключить их из измерений нельзя. Поэтому возникают две задачи: как из результатов измерений получить наиболее точную величину и как оценить точность полученных результатов измерений. Эти задачи решаются с помощью теории ошибок измерений _______

_______ В основу теории ошибок положены следующие свойства случайных ошибок :
_______ 1. Малые ошибки встречаются чаще, а большие реже.
_______ 2. Ошибки не превышают известного предела.
_______ 3. Положительные и отрицательные ошибки, одинаковые по абсолютной величине, одинаково часто встречаются.
_______ 4. Сумма ошибок, деленная на число измерений, стремится к нулю при большом числе измерений.

_______ По источнику происхождения различают ошибки приборов, внешние и личные. Ошибки приборов обусловлены их несовершенством, например погрешность угла, измеренного теодолитом, неточным приведением в вертикальное положение оси его вращения.

_______ Внешние ошибки происходят из-за влияния внешней среды, в которой протекают измерения, например погрешность в отсчете по нивелирной рейке из-за изменения температуры воздуха на пути светового луча (рефракция) или нагрева нивелира солнечными лучами.

_______ Личные ошибки связаны с особенностями наблюдателя, например, разные наблюдатели по-разному наводят зрительную трубу на визирную цель. Так как грубые погрешности должны быть исключены из результатов измерений, а систематические исключены или ослаблены до минимально допустимого предела, то проектирование измерений с необходимой точностью и оценку результатов выполненных измерений производят, основываясь на свойствах случайных погрешностей.

2. Арифметическая середина

_______ Если одна величина измерена n раз и получены результаты: l ₁, l ₂, l ₃, l ₄, l ₅, l ₆,…. l _n , то

_______ Величина x называется арифметической серединой или вероятнейшим значением измеренной величины. Разности между каждым измерением и арифметической срединой называют вероятнейшими ошибками измерений:

_______ Или в общем виде получим:

3. Средняя квадратическая ошибка

_______ Точность результатов измерений оценивается средней квадратической ошибкой. Средняя квадратическая ошибка одного измерения вычисляется по формуле:

где [v 2 ] – сумма квадратов вероятнейших ошибок; n – число измерений. Средняя квадратическая ошибка арифметической середины вычисляется по формуле:

_______ Предельная ошибка не должна превышать утроенной средней квадратической ошибки, т.е. ε = 3 x m.

_______ Иногда о точности измерений судят не по абсолютной величине средней квадратической или предельной погрешности, а по величине относительной ошибки. ___

_______ Относительной ошибкой называется отношение абсолютной ошибки к значению самой измеренной величины. Относительную ошибку выражают в виде простой дроби, числитель которой — единица, а знаменатель — число, округленное до двух-трех значащих цифр с нулями. Например, относительная средняя квадратическая погрешность измерения линии длиной:

_______ l = 110 м, при m = 2 см, равна m/ l = 1/5500.

_______ Линия измерена шесть раз. Определить ее вероятнейшую длину и оценить точность этого результата. Вычисления приведены в таблице:

Таб. 1

_______ По формулам вычислены абсолютные средние квадратические ошибки, а оценивать точность измерения длины линии необходимо по относительной ошибке. Поэтому нужно абсолютную ошибку разделить на длину линии. Для нашего примера относительная ошибка вероятнейшего значения измеренной линии равна

4. Оценка точности измерений

_______ Точность результатов многократных измерений одной и той же величины оценивают в такой последовательности:

_______ 1. Находят вероятнейшее (наиболее точное для данных условий) значение измеренной величины по формуле арифметической середины х = [ l ]/n.
_______ 2. Вычисляют отклонения для каждого значения измеренной величины от значения арифметической средины. Контроль вычислений: [v] = 0;
_______ 3. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку одного измерения.
_______ 4. По формуле вычисляют среднюю квадратическую ошибку арифметической средины.
_______ 5. Если измеряют линейную величину, то подсчитывают относительную среднюю квадратическую ошибку каждого измерения и арифметической средины.

_______ 6. При необходимости подсчитывают предельную ошибку одного измерения, которая может служить допустимым значением погрешностей аналогичных измерений.

5. Понятие о неравноточных измерениях

_______ Неравноточными измерениями называются такие, которые выполнены различным числом приемов, приборами различной точности и т.д. Если измерения неодинаковой точности, то для определения общей арифметической середины пользуются формулой:

________ Весом называется число, которое выражает степень доверия к результату измерения. В тех случаях, когда неизвестны веса измеренных величин, а известны их средние квадратические ошибки, то веса можно вычислить по формуле:

т.е. вес результата измерений обратно пропорционален квадрату средней квадратической ошибки.

_______ При неравноточных измерениях средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице, определяется по формуле:

где δ – разность между отдельными результатами измерений и общей арифметической серединой.

Средняя квадратическая ошибка измерений

Для оценки точности измерений, то есть для определения степени близости результата измерения к истинному значению измеряемой величины, чаще всего определяют среднюю квадратическую ошибку. Эта величина определяется по результатам измерений по формуле, предложенной Гауссом:

Величина m является также случайной величиной, зависит от числа измерений и сама определяется с ошибкой:

Для определения допустимости полученной ошибки вычисляют предельную ошибку Δ_пр, больше которой ошибки относятся уже к грубым.

Величину предельной ошибки определяют по формуле:

Δ_пр =km, где k = 2 (вероятность 0.95) или 3 (вероятность 0.997).

Точность геодезических измерений характеризуется абсолютными и относительными ошибками. Абсолютнымиявляются истинные, средние квадратические и предельные. Относительной ошибкой ε называется отношение соответствующей абсолютной ошибки к истинному значению измеряемой величины. Ее выражают в виде дроби, где в числителе 1.

Если измеренную величину обозначить Х_ср, то

где ε_m и ε_пр — соответственно относительная средняя квадратическая и предельная ошибки.

Вычисление среднеквадратической ошибки по формуле Гаусса возможно только тогда, когда известны истинные ошибки измерений, однако в большинстве случаев они не известны. Поэтому на практике задача решается через уклонения результатов измерений от их арифметического среднего v (вероятнейшие ошибки), которые вычисляются по результатам многократных измерений. В этом случае среднеквадратическая ошибка вычисляется по формуле Бесселя:

Средняя квадратическая ошибка функций

Измеренных величин

В тех случаях, когда используются косвенные методы измерений, ошибка результата зависит как от ошибок измеренных величин, так и от действий (функций), с помощью которых вычислен искомый результат. Поэтому определение ошибок функций измеренных величин m_f имеет большое практическое значение. Пусть имеем в общем виде функцию от многих независимых величин:

С учетом ошибок измерений величин l можно записать:

Поскольку Δl₁,Δl₂,…Δl_n, то функцию можно разложить в ряд Тейлора, ограничиваясь членами первого порядка. При разложении в ряд возникают частные производные, поскольку в уравнении имеются несколько переменных аргументов. Не вдаваясь в детализацию вывода, запишем итоговую формулу для определения квадрата средней квадратической ошибки функции нескольких переменных:

Таким образом, квадрат среднеквадратической ошибки функции общего вида равен сумме квадратов произведений частных производных по каждому аргументу на среднеквадратическую ошибку соответствующего аргумента.

В частности для функции в виде суммы (разности) аргументов вида:

Z = X ± Y ± T ± U ± . ±V,

Для функции вида Z = kX, соответственно или .

Средняя квадратичная ошибка

Оценка точности результатов измерений

Оценить точность каких-либо измерений – это значит определить на основе полученных результатов сравнимые числовые (количественные) характеристики, выражающие качественную сторону самих измерений и условий их проведения. Количественные характеристики измерений или критерии оценки точности измерений устанавливаются теорией вероятности и теорией ошибок (в частности, способом наименьших квадратов). Согласно этим теориям оценка точности результатов измерений производится только по случайным ошибкам.

Показателями точности измерений могут служить:

— средняя квадратическая ошибка измерений;

— относительная ошибка измерений;

— предельная ошибка измерений.

Понятие средней квадратичной ошибки введено Гауссом, и в настоящее время она принята в качестве основной характеристики точности измерений в геодезии.

Средней квадратичной ошибкой называется среднее квадратичное значение из суммы квадратов ошибок отдельных измерений. Для ее вычисления используют либо истинные ошибки измерений, либо уклонения результатов измерений от среднего арифметического.

Обозначим истинное значение измеряемой величины через X, результат измерения через l_i.

Истинными ошибками измерений Δ_i называются разности результатов измерений и истинных значений, т. е.

В этом случае среднюю квадратичную ошибку m отдельного результата вычисляют по формуле:

(11)

где n – количество равноточных измерений.

Однако в большинстве случаев практики, если не считать редких случаев специальных исследований, истинное значение измеряемой величины и, следовательно, истинные ошибки остаются неизвестными. В этих случаях для нахождения окончательного значения измеряемой величины и оценки точности результатов измерений используют принцип среднего арифметического.

Пусть l₁, l₂, . l_n результаты n равноточных измерений одной и той же величины. Тогда частное

называется средним арифметическим из измеренных значений этой величины.

Разность каждого отдельного результата измерения и среднего арифметического значения называется уклонением результатов измерений от среднего арифметического и обозначается буквой v:

v_i = l_i – .

Пример. Отдельный угол измерен четырьмя приемами, и получены результаты:

Тогда среднее арифметическое значение угла будет = 74° 17’44»,5, а уклонения результатов измерений от среднего арифметического соответственно будут v₁ = — 2″,5; v₂= +1″,5; v₃ = — 1″,5 и v₄= +2″,5.

Уклонения результатов измерений от среднего арифметического обладают двумя важными свойствами:

— для любого ряда равноточных измерений алгебраическая сумма уклонений равна нулю [v] = 0;

— для любого ряда равноточных измерений сумма квадратов уклонений минимальна, т. е. меньше суммы квадратов уклонений отдельных измерений от любого другого значения, принятого, вместо среднего арифметического значения, [v 2 ] = min.

Первое свойство уклонений служит надежным контролем вычисления среднего арифметического значения из результатов измерений. Второе свойство уклонений используют для оценки точности результатов измерений.

Если ошибки отдельных измерений вычисляют относительно среднего арифметического значения из результатов измерений, среднюю квадратичную ошибку отдельного результата вычисляют по формуле

. (12)

Пример. Используя данные предыдущего примера, найдем среднюю квадратичную ошибку измерения угла одним приемом:

.

При определении средних квадратичных ошибок измерений необходимо руководствоваться следующими правилами:

1) средняя квадратичная ошибка суммы или разности измеренных величин равна корню квадратному из суммы квадратов средних квадратичных ошибок слагаемых, т. е. для выражения А = а + b — с +. + q средняя квадратичная ошибка будет равна

при равноточных измерениях, когда m_a = m_b = m_c = . = m_q:

;

2) средняя квадратичная ошибка произведения измеренной величины на постоянное число равна произведению средней квадратичной ошибки этой величины на то же самое число, т. е. для выражения L = kl;

;

3) средняя квадратичная ошибка результатов равноточных измерений прямо пропорциональна средней квадратичной ошибке одного измерения m и обратно пропорциональна корню квадратному из числа измерений, т.е.

;

или с учетом формулы (12):

Примеры: 1. Угол β получен как разность двух направлений, определенных с ошибками m₁ = ± 3″ и m₂ = ± 4″.

По первому правилу находим .

2. Радиус окружности измерен со средней квадратичной ошибкой m_R = ±5 см.

По второму правилу находим среднюю квадратичную ошибку длины окружности

m₀ = 2πm_R = 2 × 3,14 × 5 = ± 31 см.

3. Средняя квадратичная ошибка измерения угла одним приемом равно m = ± 8″. Какова точность измерения угла четырьмя приемами?

По третьему правилу

.

4. Угол β измерен пятью приемами. При этом отклонения от среднего арифметического составили: — 2″, + 3″,- 4″, +4″ и -1″. Какова точность окончательного результата?

По третьему правилу

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: На стипендию можно купить что-нибудь, но не больше. 9478 — | 7515 — или читать все.

Средняя квадратическая ошибка простой

Арифметической средины

Дан ряд результатов равноточных измерений одной величины

Представим формулу для вычисления простой арифметической средины в виде

`x = (1.56)

Согласно (1.47) будем иметь

(1.57)

где m₁ = m₂ = . = m_n = m . Следовательно, равенство (1.57) примет следующий вид

и окончательно запишем

(1.58)

Итак, средняя квадратическая ошибка простой арифметической средины в корень квадратный раз из числа измерений меньше средней квадратической ошибки одного измерения.

Формула Бесселя

Выполнив n повторных измерений одной и той же величины, вычислим отклонения результатов этих измерений от арифметической средины

Получим формулу для оценки точности результата измерения через отклонения от арифметической средины, но предварительно рассмотрим свойства отклонений v_i [ 2 ].

Первое свойство. Алгебраическая сумма отклонений результатов равноточных измерений одной и той же величины от простой арифметической средины равна нулю при любом числе измерений.
Возьмем ряд отклонений от арифметической средины

( 1.59 )

Суммируя левую и правую части равенства (1.59) , получим

Полученное равенство разделим на n

. (1.60)

Поскольку правая часть равенства (1.60) равна нулю, то и [n] = 0.

Второе свойство. Сумма квадратов отклонений результатов равноточных измерений от простой арифметической средины меньше суммы квадратов отклонений этих же результатов от любой другой величины, не равной простой арифметической средины, т.е. если x¢ ¹ `x , то

Но член 2c [ v ] = 0 по первому свойству отклонений v_i , тогда

Из формулы (1.65) следует, что

на положительное число nc 2 , вне зависимости от того, x¢ больше`x, или меньше. Таким образом, при x¢ ¹ x