Progress-servis55.ru

Новости из мира ПК
2 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Случайные ошибки измерения подчинены нормальному закону

Примеры. Основные теоретические сведения

Основные теоретические сведения

Нормально распределенная случайная величина Х имеет плотность вероятности:

где , D(X)=σ 2 .

Вероятность того, что нормально распределённая случайная величина Х попадёт в интервал (a; b) равна:

где

Вероятность того, что отклонение случайной величины, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания не превысит величину (по абсолютной величине), равна:

, где .

− функция Лапласа (приложение 2, стр.80)

Пример 1. Масса вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием 65 т. и средним квадратическим отклонением = 2,9 т. Найти вероятность того, что очередной вагон имеет массу не более 70 т, но не менее 60т.

Решение. Воспользуемся формулой:

, .

По таблице приложения 2 (стр.80) находим: , .

.

Пример 2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение. По условию:a =10, b=50, а=30, s =10, следовательно,

По таблице приложения 2 (стр.80) находим Ф(2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Решение. В данном случае имеем a = 0, тогда, в силу нечетности функции Ф(t), получаем:

Пример 6. Рост взрослого мужчины удовлетворительно описывается нормальным законом распределения. По статистике средний рост составляет 180 см, а среднеквадратическое отклонение равно 7 см. Найти вероятность того, что рост наугад взятого мужчины будет отличаться от среднего роста менее чем на 7 см.

Решение. Обозначим рост наугад взятого взрослого мужчины через X.

По условию задачи а=180, Δ=7, σ=7. Требуется найти .

Тогда .

Дата добавления: 2014-11-29 ; Просмотров: 1659 ; Нарушение авторских прав?

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Теория_Вероятностей_КР7

Если случайная величина имеет нормальное распределение, то отклонение этой величины от ее математического ожидания по абсолютной величине практически не превышает утроенного среднего квадратического отклонения.

На этом правиле основана приближенная оценка среднего квадратического отклонения. Из полученных данных наблюдения над случайной величиной выбирают максимальное и минимальное значения и их разность делят на 6. Полученное число является грубой оценкой среднего квадратического отклонения при условии, что распределение случайной величины является нормальным.

Читать еще:  Java database connection

Пример 6.6. Случайная погрешность измерения подчинена нормальному закону распределения с параметрами а =0, σ =9 мм. Проводятся три независимых измерения. Найти вероятность того, что погрешность измерения не превосходит по абсолютной величине 3 мм.

Решение. По формуле (6.20) для а =0, σ=9, ε=3 находим вероятность того, что погрешность измерения в одном испытании не превышает 3 мм. Имеем

P ( X 3 ) = 2Ф 0 ( 39 ) ≈ 2Ф 0 ( 0,33 ) = 0,2586 .

Вероятность того, что эта погрешность превышает 3 мм, равна

P ( X > 3 ) = 1 − P ( X 3 ) = 0,7414 .

Вероятность того, что во всех трех испытаниях погрешность измерения превышает 3 мм, по теореме умножения вероятностей равна произведению веро-

ятностей: [ P ( X ) > 3] 3 ≈ 0,4075.

Искомая вероятность равна

В заключение приведем теорему, которая будет использована для решения задач.

Алгебраическая сумма независимых нормально распределенных случайных величин имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием, равным алгебраической сумме математических ожиданий слагаемых, и дисперсией, равной сумме дисперсий слагаемых.

Пример 6.7. Случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами a = 2 σ 2 = 4 . Найти плотность вероятности случайной величины Y g ( x ), если Y = 4 X − 3. Вычислить P ( Y − M ( Y ) 2,65 σ Y ) и P < ( Y 5) (6 ≤ Y ≤ 10) >.

Решение. Случайная величина Y является также как и X нормально распределенной случайной величиной.

Чтобы найти плотность распределения случайной величины Y необходимо знать параметры закона распределения, но для этого достаточно вычислить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y.

M ( Y ) = M (4 X − 3) = M (4 X ) − M (3) = 4 M ( X ) − 3 = 8 − 3 = 5 . Т.о. a = 5

D ( Y ) = D (4 X − 3) = D (4 X ) + D ( − 4) = 16 D ( X ) = 16 4 = 64 .

Следовательно, σ Y

формуле (6.20) имеем

2,65 σ Y ) = 2 Φ 0 ( 2,65 σ Y ) = 2 Φ 0 (2,65) = 2 0,496 = 0,992 .

Для вычисления вероятности

лить вероятности P ( Y 5) и P (6 ≤ Y ≤ 10) .

P ( Y 5) = P ( −∞ Y 5) = Φ 0 (

) − Φ 0 ( −∞ ) = Φ 0 (0) + Φ 0 ( +∞ ) = 0,5.

P (6 ≤ Y ≤ 10) = Φ 0 (

( 5 ) − Φ 0 ( 1 ) = Φ 0 (0,625) − Φ 0 (0,125) =

0,2324 − 0,0478 = 0,2046.

P < ( Y 5) (6 ≤ Y ≤ 10) >= P ( Y 5) + P (6 ≤ Y ≤ 10) = 0,5+ 0,2046 = 0,7046. ►

Читать еще:  Logger getlogger java

7. Предельные теоремы теории вероятностей

Приведем ряд утверждений и теорем из большой группы так называемых предельных теорем теории вероятностей. Они составляют основу математической статистики.

Предельные теоремы условно делятся на две группы. Первая группа называется законом больших чисел. Закон больших чисел – это обобщенное название нескольких теорем, из которых следует, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.

Вторая группа теорем устанавливает условия, при которых закон распределения суммы большого числа случайных величин неограниченно приближается к нормальному.

Если случайная величина Х, имеет математическое ожидание , то для лю-

бого положительного ε справедливо неравенство Чебышева

Пример 7.1. Среднее значение длины детали равно 50 см, а дисперсия равна 0,1. Оценить вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5 см и не больше 50,5 см.

Решение. Поскольку a = 50 , то условие 49,5 X X − a | 0,5.

Применяя неравенство (6.23) получаем P ( X − a 0,5 ) > 1 − 0,1 = 0,6 ► 0,5 2

Неравенство Чебышева зачастую дает грубую, а иногда тривиальную, не

представляющую интереса оценку. Пусть, например, ε = DX /2. Тогда неравенство Чебышева принимает вид

P ( X − MX ε ) > 1– 4 D ( X ) = − 3.

Получена заведомо известная оценка вероятности P ( X − MX ≤ ε ) , так как

вероятность любого события всегда неотрицательна. Тем не менее неравенство Чебышева имеет большое теоретическое значение. С его помощью доказываются теоремы и делаются теоретические выводы.

Для независимых случайных величин X 1 , X 2 . X n . , дисперсия каждой из

которых не превышает одного и того же постоянного числа В , для произвольного сколько угодно малого числа ε справедливо неравенство

Не следует считать, что предел величины

Равенство (7.2) означает, что вероятность отклонения по абсолютной величине

меньше чем на ε при неограниченном возрастании п стремится

к 1, т.е. становится практически достоверным событием.

Если случайные величины X 1 , X 2 . X n . независимы и одинаково

распределены, M ( X i ) = a , D ( X i ) = σ 2 , то для любого ε > 0

Из следствия (7.3) теоремы Чебышева следует, что среднее арифметическое случайной величины Х обладает свойством устойчивости.

Теорема Чебышева имеет большое практическое применение. Она позволяет, используя среднее арифметическое, получить представление о величине математического ожидания, и наоборот. Так, измеряя какой-нибудь параметр с помощью прибора, не дающего систематической погрешности, можно получить достаточно большое число результатов измерений, среднее арифметическое которых по теореме Чебышева будет практически мало отличаться от истинного значения параметра. Следствием из теоремы Чебышева является

Читать еще:  Java создание web приложения пример

Если вероятность события А в каждом из n независимых испытаний постоянна и равна p *) , то для произвольного ε > 0 справедливо неравенство

где m-число появлений события А в n испытаниях.

Теорема Бернулли устанавливает связь между вероятностью появления события и его относительной частотой появления и позволяет при этом предсказать, какой примерно будет эта частота в n испытания. Из теоремы видно, что отношение m/n обладает свойством устойчивости при неограниченном росте испытаний.

Центральная предельная теорема

Вспоминая приведенные выше теоремы, можно сделать вывод, что при выполнении довольно «нежестких» требований некоторые случайные величины с увеличением числа испытаний приближаются к определенным предельным значениям, не зависящим от вида распределения самих величин. Каждая из этих теорем является одной из форм закона больших чисел. В рассмотренных теоремах, а значит, и в законе больших чисел ничего не говорится о виде распределения рассматриваемой случайной величины.

Другая группа теорем теории вероятностей, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой — нормальным законом распределения, называется центральной предельной теоремой . Различные формы центральной предельной теоремы отличаются между собой условиями, накладываемыми на сумму рассматриваемых случайных ве-

*) Так как вероятность события А от испытания к испытанию не изменяется (она остается равной p ), то это с вероятностной точки зрения означает, что испытания проводятся в одинаковых условиях.

личин. Поскольку, эти условия на практике выполняются очень часто, нормальный закон является самым распространенным среди законов распределения, наиболее часто используемым при объяснении случайных явлений природы.

Приведем наиболее простой вариант центральной предельной теоремы. Рассмотрим последовательность независимых и одинаково распределенных случай-

ных величин X 1 , X 2 . X n . у которых существуют математическое ожидание m и отличная от нуля дисперсия σ 2 . Рассмотрим последовательность сумм этих

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector