Progress-servis55.ru

Новости из мира ПК
4 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Несмещенная исправленная дисперсия

Выборочная дисперсия. Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

Смещенной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия. Эту величину вводят для того, чтобы охарактеризовать рассеяние наблюдаемых значений количественного признака выборки вокруг среднего значения .

Определение. Выборочной дисперсией называют среднее арифметическое квадратов отклонения наблюдаемых значений признака от их среднего значения . Если значения признака x1, x2, …, xk имеют соответственно частоты n1, n2, …, nk, причем n1 + n2 + … + nk = n, то

Эта оценка является смещенной, так как ,

где DГ – генеральная дисперсия – среднее арифметическое квадратов отклонения значения признака генеральной совокупности от их среднего значения .

Теорема.Выборочная дисперсия равна среднему квадратов значений признака минус квадрат выборочной средней.

Для вычисления выборочной дисперсии эта формула наиболее удобна.

Замечание. Если перейти к условным вариантам ui = xi – c , то дисперсия при этом не изменится. Тогда .

Оценка генеральной дисперсии по исправленной выборочной.

Пусть из генеральной совокупности в результате n независимых наблюдений

над количественным признаком Х извлечена повторная выборка объема n:

Значения признакаxix1x2xk
Частотыnin1n2nk

При этом n1 + n2 + … + nk = n. Требуется по данным выборки найти неизвестную генеральную дисперсию DГ. Если в качестве оценки DГ принять выборочную дисперсию, то эта оценка будет приводить к систематическим ошибкам, давая заниженное значение DГ. Объясняется это тем, что математическое ожидание выборочной дисперсии не равно оцениваемой DГ, а равно .

Легко «исправить» выборочную дисперсию так, чтобы ее математическое ожидание было равно генеральной дисперсии. Достаточно для этого умножить на дробь n/(n–1). Сделав это, мы получим исправленную дисперсию, которую обычно обозначают .

Несмещенной оценкой генеральной дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

.

Более удобна форма:

.

В условных вариантах она имеет вид:

,

причем если ui = xi – c, то ; если , то .

Из генеральной совокупности извлечена выборка объемом n = 60

Найти несмещенную оценку генеральной средней.

Решение. Несмещенной оценкой генеральной средней является выборочная средняя: ,

где ─ варианта выборки, ─ частота варианты ; объем выборки.

.

Ответ: .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Учись учиться, не учась! 11082 — | 8252 — или читать все.

Выборочная дисперсия. Исправленная дисперсия

Оценка параметров генеральной совокупности

Выборочное среднее

Пусть имеется случайная выборка объема n, представленная вариационным рядом <(xj, nj)>, где xj — варианты, nj — частоты, j = 1, 2, …, m. Если мы имеем дело с интервальным вариационным рядом, то xj — середины интервалов.

Выборочное среднее значение определяется по формуле

(3.1)

Если выборка не сгруппирована, то выборочная средняя определяется по формуле

(3.2)

Выборочное среднее является случайной величиной. Её математическое ожидание равно генеральной средней, т.е. выборочное среднее является несмещенной оценкой генеральной средней.

Если у генеральной совокупности генеральная средняя равна a и среднеквадратическое отклонение равно σ, то среднеквадратическое отклонение выборочной средней для повторной выборки вычисляется по формуле

. (3.3)

Среднеквадратическое отклонение выборочной средней для бесповторной выборки вычисляется по формуле

. (3.4)

где N — объем генеральной совокупности.

Для вычисления выборочной средней для не сгруппированной выборки в программе Excel можно воспользоваться следующей функцией (которая вычисляет среднее арифметическое):

Число1, число2, . — это от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется среднее.

  • Аргументы должны быть либо числами, либо именами, массивами или ссылками, содержащими числа.
  • Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит тексты, логические значения или пустые ячейки, то такие значения игнорируются; однако ячейки, которые содержат нулевые значения, учитываются.

Если выборка представлена вариационным рядом, то для вычисления выборочного среднего можно воспользоваться функцией СУММПРОИЗВЕД(массив1;массив2;…), которая вычисляет сумму произведений соответствующих элементов массивов массив1, массив2 и т.д.

Пример 3.1. Найти выборочное среднее для выборки из 10 числовых значений, записанных в ячейках А2:А11 (см. рис. 3.1).

Решение. Введите в ячейку А12 формулу =СРЗНАЧ(А2:А11). Получим значение 1,9.

Пример 3.2. Найти выборочное среднее для выборки, представленной вариационным рядом из 10 числовых значений вариант, записанных в ячейках С2:С11, и 10 значений частот, записанных в ячейках D2:D11 .

Читать еще:  Неисправности пк звуковые сигналы

Решение. Введите в ячейку C12 формулу

Получим значение 3,571429.

Выборочная дисперсия. Исправленная дисперсия

Выборочная дисперсия s 2 для сгруппированной в вариационный ряд выборки определяется по формуле

(3.5)

Исправленная дисперсия вычисляется по формуле

(3.6)

Если выборка не сгруппирована, то выборочная дисперсия s 2 определяется по формуле

, (3.7)

а исправленная дисперсия — по формуле

(3.8)

Исправленная дисперсия является несмещенной оценкой генеральной дисперсии, т.е. математическое ожидание исправленной дисперсии равно генеральной дисперсии.

В программе Excel для вычисления выборочной дисперсии для выборки, не сгруппированной в вариационный ряд, предназначена функция

Число1, число2. — от 1 до 30 числовых аргументов, соответствующих выборке (числа или диапазоны ячеек).

ДИСПР предполагает, что аргументы представляют всю генеральную совокупность. Если данные представляют только выборку из генеральной совокупности, то дисперсию следует вычислять, используя функцию ДИСП.

Формула для ДИСПР имеет вид (3.7).

Для вычисления исправленной дисперсии предназначена функция

Формула для ДИСП имеет вид (3.8).

Обратите внимание на имена этих функций, можно подумать, что ДИСПР() вычисляет исправленную дисперсию, а ДИСП() — выборочную, тогда как на самом деле функция ДИСП() вычисляет исправленную дисперсию, а ДИСПР() — выборочную.

Выборочная несмещенная дисперсия

Приветствую посетителей блога statanaliz.info. В данной статье рассмотрим, что такое «выборочная несмещенная дисперсия».

Понятие о сплошном и выборочном наблюдении

С точки зрения охвата объекта исследования, статистический анализ можно разделить на два вида: сплошной и выборочный. Сплошной статанализ предполагает изучение генеральной совокупности данных, то есть всего явления во всем его многообразии без распространения выводов на другие элементы, не входящие в анализируемую совокупность. Из названия данного типа явствует, что наблюдению подвергаются тотально все элементы. Результат анализа распространяется на всю генеральную совокупность без каких-либо допущений и поправок на ошибку. Данный тип статистического исследования является наиболее полным и точным, так как дополнительные знания почерпнуть уже неоткуда – информация собрана со всех элементов объекта исследования. Это бесспорный плюс.

Отличным примером сплошного наблюдения является перепись населения. «Всесоюзная перепись населения» — красиво звучало! Кстати, советская статистика, как и наука в целом, была одной из самых лучших в мире. Денег на проведение сплошных обследований не жалели, так как при СССР статистика выполняла свою прямую функцию – исследовала реальность, без чего невозможно было строить «светлое будущее». При этом советские ученые-статистики справедливо критиковали буржуазную статистику за то, что те скрывают от народа реальное положение дел и используют статистику для промывки мозгов. Об этом, кстати, писали и сами буржуи. Более практичный пример сплошного наблюдения – опрос жителей многоэтажного дома на предмет заваривания мусоропровода. Опрашиваются все, результат дает вполне однозначный ответ об отношении жителей к мусоропроводу. Ошибки в выводах маловероятны.

Как бы там ни было, у сплошного наблюдения есть отрицательное качество: на организацию и проведение исследования могут потребоваться значительные ресурсы. Одно дело взять пробу из партии товаров, другое – проверять всю партию. Одно дело опросить тысячу прохожих на улице, совсем другое – организовать перепись населения.

В противовес сплошному придумали выборочное наблюдение. Название метода точно отражает его суть: из генеральной совокупности отбирается и анализируется только часть данных, а выводы распространяют на всю генеральную совокупность. Отбор данных происходит таким образом, чтобы выборка была репрезентативной, то есть, сохранила внутреннюю структуру и закономерности генеральной совокупности. Если это условие не соблюдено, то дальнейший анализ во многом теряет смысл.

Сам анализ выборочных данных происходит так же, как и при сплошном наблюдении (рассчитываются различные показатели, делаются прогнозы и т.д.), только с поправкой на ошибку. Это значит, что рассчитывая тот или иной показатель, мы понимаем, что при повторной выборке его значение будет другим. К примеру, провели опрос общественного мнения. Опрос показал, что за кандидата N желают проголосовать 60% опрошенных. Если провести еще один такой же опрос, даже в том же месте, то результат будет отличаться. То есть, взяв первое значение 60%, следует понимать, что с той или иной вероятностью оно могло быть, скажем, и 58%, и 62%. Точность и разброс выборочных показателей зависят от характера данных и их количества.

Читать еще:  Как исправить буквы в пдф

У выборочного наблюдения есть один существенный плюс и один минус, однако по сравнению со сплошным наблюдением крайности меняются местами. Плюс заключается в том, что для проведения выборочного обследования требуется гораздо меньше ресурсов. Минус – в том, что выборочное наблюдение всегда ошибочно. Поэтому основная задача проведения выборочного наблюдения – добиться максимальной точности при приемлемых затратах на его проведение.

Выборочная несмещенная дисперсия

И вот, стало быть, дисперсия. Дисперсия, как и доля или средняя арифметическая, также меняет свое значение от выборки к выборке, но здесь есть интересная особенность. Дисперсия ведь рассчитывается от средней величины, а она в свою очередь, тоже рассчитывается по выборке, то есть является ошибочной. Как же это обстоятельство влияет на саму дисперсию?

Если бы мы знали истинную среднюю величину (по генеральной совокупности), то ошибка дисперсии была бы связана только с нерепрезентативностью, то есть с тем, что данные в выборке оказались бы ближе или дальше от средней, чем в целом по генеральной совокупности. При этом при многократном повторении данные стремились бы к своему реальному расположению относительно средней.

Выборочный показатель, который при многократном повторении выборки стремится к своему теоретическому значению, называется несмещенной оценкой. Почему оценкой? Потому что мы не знаем реальное значение показателя (по генеральной совокупности), и с помощью выборочного наблюдения пытаемся его оценить. Оценка показателя – это есть его характеристика, рассчитанная по выборке.

Теперь смотрим внимательно на выборочную среднюю. Выборочная средняя – это несмещенная оценка математического ожидания, так как средняя из выборочных средних стремится к своему теоретическому значению по генеральной совокупности. Где она расположена? Правильно, в центре выборки! Средняя всегда находится в центре значений, по которым рассчитана – на то она и средняя. А раз выборочная средняя находится в центре выборки, то из этого следует, что сумма квадратов расстояний от каждого значения выборки до выборочной средней всегда меньше, чем до любой другой точки, в том числе и до генеральной средней. Это ключевой момент. А раз так, то дисперсия в каждой выборке будет занижена. Средняя из заниженных дисперсий также даст заниженное значение. То есть при многократном повторении эксперимента выборочная дисперсия не будет стремиться к своему истинному значению (как выборочная средняя), а будет смещена относительно истинного значения по генеральной совокупности.

Отклонение выборочной средней от генеральной показано на рисунке.

Несмещенность оценки – одна из важных характеристик статистического показателя. Смещенная оценка показателя заранее говорит о тенденции к ошибке. Поэтому показатели стараются оценивать таким образом, чтобы их оценки были несмещенными (как у средней арифметической). Чтобы решить проблему смещенности выборочной дисперсии, в ее расчет вносят корректировку – умножают на n/(n-1), либо сразу при расчете в знаменатель ставят не n, а n-1. Получается так.

Выборочная смещенная дисперсия:

Выборочная несмещенная дисперсия:

Под выборочной дисперсией понимают, как правило, именно несмещенный вариант.

Теперь посмотрим на практическую сторону отличия смещенной и несмещенной дисперсии. Соотношение между выборочной и генеральной дисперсией составляет n/n-1. Несложно догадаться, что с ростом n (объема выборки) данное выражение стремится к 1, то есть разница между значениями выборочной и генеральной дисперсиями уменьшается.

Так, в выборке из 11 наблюдений относительная разница составляет 11/10 = 10%. При 21 наблюдениях, отличие сокращается до 5%, при 31 наблюдении – до 3,3%, при 51 – до 2%, при 101 – до 1%. Короче, при достаточно большой выборке данных (50 и выше наблюдений) относительная разница между смещенной и несмещенной дисперсией практически исчезает. Оценка параметра, когда с ростом выборки его отклонение от теоретического значения уменьшается, называется асимптотически несмещенной оценкой.

Читать еще:  Иероглифы в ворде как исправить

При переходе к среднеквадратичном отклонению по выборке (корень из выборочной дисперсии) разница становится еще меньше.

Таким образом, эффект смещенной дисперсии проявляется в небольших выборках. В больших выборках можно использовать генеральную дисперсию, что как бы не усложняет и не упрощает жизнь. Вручную сейчас никто не считает. Все легко посчитать в Excel. Но понимать различие в терминологии и в сути показателей все же следует.

Из данной статьи неплохо бы усвоить следующее.

1. Формула генеральной дисперсии в выборке дает смещенную оценку.

2. В знаменателе несмещенной оценки n-1 вместо n.

3. При большом объеме выборки (от 100 наблюдений) разница между смещенной и несмещенной дисперсиями практически исчезает.

4. Стандартное отклонение по выборке – это корень из выборочной дисперсии.

Точечная оценка и ее свойства

Когда оценка определяется одним числом, она называется точечной оценкой. Точечная оценка, как функция от выборки, является случайной величиной и меняется от выборки к выборке при повторном эксперименте.
К точечным оценкам предъявляют требования, которым они должны удовлетворять, чтобы хоть в каком-то смысле быть «доброкачественными». Это несмещённость, эффективность и состоятельность.

Интервальные оценки определяются двумя числами – концами интервала, который накрывает оцениваемый параметр. В отличие от точечных оценок, которые не дают представления о том, как далеко от них может находиться оцениваемый параметр, интервальные оценки позволяют установить точность и надёжность оценок.

В качестве точечных оценок математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения используют выборочные характеристики соответственно выборочное среднее, выборочная дисперсия и выборочное среднее квадратическое отклонение.

Свойство несмещенности оценки .
Желательным требованием к оценке является отсутствие систематической ошибки, т.е. при многократном использовании вместо параметра θ его оценки среднее значение ошибки приближения равно нулю — это свойство несмещенности оценки.

Определение. Оценка называется несмещенной , если ее математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра:

Выборочное среднее арифметическое является несмещенной оценкой математического ожидания, а выборочная дисперсия — смещенная оценка генеральной дисперсии D. Несмещенной оценкой генеральной дисперсии является оценка

Свойство состоятельности оценки .
Второе требование к оценке — ее состоятельность — означает улучшение оценки с увеличением объема выборки.

Определение. Оценка называется состоятельной , если она сходится по вероятности к оцениваемому параметру θ при n→∞.

Свойство эффективной оценки .
Третье требование позволяет выбрать лучшую оценку из нескольких оценок одного и того же параметра.

Определение. Несмещенная оценка является эффективной , если она имеет наименьшую среди всех несмещенных оценок дисперсию.

Это означает, что эффективная оценка обладает минимальным рассеиванием относительно истинного значения параметра. Заметим, что эффективная оценка существует не всегда, но из двух оценок обычно можно выбрать более эффективную, т.е. с меньшей дисперсией. Например, для неизвестного параметра a нормальной генеральной совокупности N(a,σ) в качестве несмещенной оценки можно взять и выборочное среднее арифметическое, и выборочную медиану. Но дисперсия выборочной медианы примерно в 1.6 раза больше, чем дисперсия среднего арифметического. Поэтому более эффективной оценкой является выборочное среднее арифметическое.

Пример №1 . Найдите несмещенную оценку дисперсии измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 13,15,17.
Решение. Таблица для расчета показателей.

x|x — xср|(x — xср) 2
1324
15
1724
4548

Простая средняя арифметическая (несмещенная оценка математического ожидания)


Дисперсия — характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего — смещенная оценка).


Несмещенная оценка дисперсии — состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия).

Пример №2 . Найдите несмещенную оценку математического ожидания измерений некоторой случайной величины одним прибором (без систематических ошибок), результаты измерения которой (в мм): 4,5,8,9,11.
Решение. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4

Пример №3 . Найдите исправленную дисперсию S 2 для выборки объема n=10, если выборочная диспресия равна D = 180.
Решение. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector