Matlab решение уравнений

Решение уравнений в matlab

Вы можете решать уравнения, содержащие переменные, с помощью команд
solve и fzero.

Разберем подробнее Matlab решение нелинейных уравнений, к примеру квадратного уравнения х 2 — 2х — 4 = 0, введите следующее:

syms x; solve (‘x^2 — 2*x -4=0’)

Разберем подробнее matlab решение линейных уравнений, к примеру вот такое уравнение х — 4 = 0, введите следующее:

syms x; solve (‘x -4=0’)

Обратите внимание, что уравнение, которое требуется решить, задано как
строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное
(символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double
(ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve
может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB
потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и
фактически синтаксис решения уравнения х 2 — Зх = -7 будет выглядеть так:

syms x; solve (x^2 — 3*x + 7)

Ответ представляет собой точное (символьное) решение (3 + корень(19i))/2
(сложные числа, где буква i в ответе ставится для мнимой единицы V-1). Для
получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы
отобразить больше знаков.
С помощью команды solve можно решать высокоуровневые полиномиальные
(многочленные) уравнения, равно как и многие другие типы уравнений. Можно
также решать уравнения, содержащие более чем одну переменную. Если
уравнений меньше, чем переменных, вам следует определить (как строки), какую
переменную (переменные) требуется вычислить. Например, введите solve ( ‘2*х — log (у) = 1’, ‘у’), чтобы решить уравнение 2х — log у = 1 для
переменной у при условии х. Подобным образом вы можете определить более чем
одно уравнение. Например:

[x, y] = solve (‘x^2 — y = 2’, ‘y — 2*x =5’)

Эта система уравнений имеет два решения. Программа MATLAB выдает решение,
выводя два значения х и два значения у для этих решений. Таким образом,
первое решение состоит из первого значения х и первого значения у. Вы можете
извлечь эти значения, введя в командную строку х (1) и у (1):

Второе решение можно извлечь, введя х (2) и у (2).
Обратите внимание, что в предыдущей команде solve мы назначили вывод в
векторной форме [х, у]. Если вы используете команду solve в системе
уравнений, не задавая вывод в векторной форме, в этом случае программа MATLAB не
отображает автоматически значения решения:

sol = solve (‘x^2 — y = 2’, ‘y — 2*x = 5’)

sol =
х: [2×1 sym]
у: [2×1 sym]

Чтобы увидеть векторы значений х и у, введите sol.x и sol.у. Чтобы увидеть
отдельные значения, введите sol.х (1) и sol.у (1), и т.п.

• В этом примере вывод результата выполнения команды solve представляет собой структурный массив. Чтобы более подробно познакомиться с этим классом данных

Некоторые уравнения нельзя решить символически, и в таких случаях команда
solve пытается найти числовой ответ. Например:

solve (‘ sin (x) = 2 — x’)

Иногда бывает более одного решения, и вы можете не получить того, что
ожидаете, например:

solve (‘exp (-x) = sin (x) ‘ )

Ответ представляет собой комплексное число. Хотя оно является правильным
решением уравнения, существуют также решения, представленные
вещественными числами. Графики функций ехр (-х) и sin (x) показаны на Рис. 2.3;
каждая точка пересечения двух кривых представляет собой решение уравнения е -х = sin (х).

Вы можете в числовой форме найти (приблизительно) решения, показанные на
графике, с помощью команды fzero, которая ищет нулевое значение данной
функции в пределах заданного значения х. Решение уравнения е -х = sin (x)
равно нулю в функции е -х — sin (x), поэтому, чтобы найти приблизительное
решение при х = 0.5, введите следующее:

h = @(x) exp(-x) — sin(x);
fzero (h, 0.5)

Замените значение 0.5 на 3 и найдите следующее решение, и так далее.

Рис. 2.3. Две пересекающиеся кривые

Поэтому из выше всего сказанного можно сделать вывод, что вам необходимо просмотреть много дополнительной информации и альтернатив!

Решение нелинейных уравнений в Matlab

Доброго времени суток. В этой статье мы разберем решение простых нелинейных уравнений с помощью средств Matlab. Посмотрим в действии как стандартные функции, так и сами запрограммируем три распространенных метода для решения нелинейных уравнений.

Общая информация

Уравнения, которые содержат переменные, находящиеся в степенях, отличающихся от единицы, или имеющие нелинейные математические выражения (корень, экспонента, логарифм, синус, косинус и т.д.), а также имеющие вид f(x) = 0 называются нелинейными. В зависимости от сложности такого уравнения применяют методы для решения нелинейных уравнений.

В этой статье, помимо стандартных функций Matlab, мы рассмотрим следующие методы:

• Метод перебора
• Метод простых итераций
• Метод половинного деления

Рассмотрим коротко их алгоритмы и применим для решения конкретной задачи.

Стандартные функции Matlab

Для решения нелинейных уравнений в Matlab есть функция fzero. Она принимает в качестве аргументов саму функцию, которую решаем, и отрезок, на котором происходит поиск корней нелинейного уравнения.

И сразу же разберем пример:

Решить нелинейное уравнение x = exp(-x), предварительно определив интервалы, на которых существуют решения уравнения.

Итак, для начала следует привести уравнение к нужному виду: x — exp(-x) = 0 , а затем определить интервалы, в которых будем искать решение уравнения. Методов для определения интервалов множество, но так как пример достаточно прост мы воспользуемся графическим методом.

Здесь задали примерные границы по оси x, чтобы можно было построить график и посмотреть как ведет себя функция. Вот график:

Из графика видно, что на отрезке [0;1] есть корень уравнения (там, где y = 0), соответственно в дальнейшем будем использовать этот интервал. Чем точнее выбран интервал, тем быстрее метод придет к решению уравнения, а для сложных уравнений правильный выбор интервала определяет погрешность, с которой будет получен ответ.

С помощью стандартной функции Matlab находим корень нелинейного уравнения и выводим. Теперь для проверки отобразим все это графически:

Как вы видите, все достаточно точно просчиталось. Теперь мы исследуем эту же функцию с помощью других методов и сравним полученные результаты.

Метод перебора Matlab

Самый простой метод, который заключается в том, что сначала задается какое то приближение x (желательно слева от предполагаемого корня) и значение шага h. Затем, пока выполняется условие f(x) * f(x + h) > 0, значение x увеличивается на значение шага x = x + h. Как только условие перестало выполняться — это значит, что решение нелинейного уравнения находится на интервале [x; x + h].

Теперь реализуем метод перебора в Matlab:

Лучше всего создать новый m-файл, в котором и прописать код. После вызова получаем такой вывод:

Функцию объявляем с помощью очень полезной команды inline, в цикле пока выполняется условие отсутствия корней (или их четного количества), прибавляем к x значение шага. Очевидно, что чем точнее начальное приближение, тем меньше итераций необходимо затратить.

Метод простых итераций Matlab

Этот метод заключается в том, что функцию преобразуют к виду: x = g(x). Эти преобразования можно сделать разными способами, в зависимости от вида начальной функции. Помимо этого следует задать интервал, в котором и будет производиться итерационный процесс, а также начальное приближение. Сам процесс строится по схеме x_n= g(x_n-1). То есть итерационно проходим от предыдущего значения к последующему.

Процесс заканчивается как только выполнится условие: , то есть, как только будет достигнута заданная точность. И сразу же разберем реализацию метода простых итераций в Matlab для примера, который был приведен выше.

Здесь должно быть все понятно, кроме одного: зачем задавать число итераций? Это нужно для того, чтобы программа не зацикливалась и не выполняла ненужные итерации, а также потому что не всегда программа может просчитать решение с нужной точностью — поэтому следует ограничивать число итераций.

А вот и вывод программы:

Очевидно, что метод простых итераций работает гораздо быстрее и получает точное решение.

Метод половинного деления Matlab

Метод достаточно прост: существует отрезок поиска решения [a;b], сначала находят значение функции в точке середины c, где c = (a+b)/2. Затем сравнивают знаки f(a) и f(c). Если знаки разные — то решение находится на отрезке [a;c], если нет — то решение находится на отрезке [c;b]. Таким образом мы сократили область в 2 раза. Такое сокращение происходит и дальше, пока не достигнем заданной точности.

Перейдем к реализации метода в Matlab:

Все самое важное происходит в цикле: последовательно сокращаем область нахождения решения, пока не будет достигнута заданная точность.
Вот что получилось в выводе:

Этот метод хорошо работает, когда правильно определен интервал, на котором находится решение. Тем не менее, метод простых итераций считается наиболее точным и быстрым.

Заключение

Сегодня мы рассмотрели решение нелинейных уравнений в Matlab. Теперь нам известны методы перебора, половинного деления, простых итераций. А также, когда нам не важно реализация метода, то можно использовать стандартную функцию в Matlab.

На этом все — спасибо за внимание. В следующей статье мы разберем решение систем нелинейных уравнений в matlab.

Matlab решение уравнений

предназначена функция fsolve.

Здесь x — вектор и F(x) — функция, которая возвращает значение вектора.

Наиболее полная информация о функции fsolve приведена в справочной системе MATLAB. Здесь приводится только краткое описание.

x = fsolve(fun,x0)
x = fsolve(fun,x0,options)
[x,fval,exitflag] = fsolve(. )
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(. )
[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(. )

fsolve находит корни (нули) системы нелинейных уравнений.

Таблица 4-1, Входные аргументы, содержит общее описание аргументов, передаваемых в fsolve. Данный подраздел приводит функционально-специфические детали для fun и options:

Подлежащая решению система уравнений.

fun есть такая функция, которая принимает вектор х и возвращает вектор F, нелинейные уравнения х. Функция fun может задаваться с помощью описателя функций

x = fsolve(@myfun,x0)
где myfun есть такая функция MATLAB, что

function F = myfun(x)
F = . % Расчет значений функции от x
fun так же может быть внутренним объектом.

Если к тому же может быть рассчитан Якобиан и установленная с помощью options = optimset(‘Jacobian’,’on’) опция options.Jacobian равна ‘on’, то функция fun во втором выходном аргументе должна возвращать значение Якобиана J, как матрицы от х.

Опции обеспечивают учет специфических деталей функции виде параметров options.

Таблица ниже содержат общее описание возвращаемых fsolve. аргументов. В этом разделе приводятся общие специфические детали для величин exitflag и output:

Описывает выходные условия.