Progress-servis55.ru

Новости из мира ПК
0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Matlab решение уравнений

Решение уравнений в matlab

Вы можете решать уравнения, содержащие переменные, с помощью команд
solve и fzero.

Разберем подробнее Matlab решение нелинейных уравнений, к примеру квадратного уравнения х 2 — 2х — 4 = 0, введите следующее:

syms x; solve (‘x^2 — 2*x -4=0’)

Разберем подробнее matlab решение линейных уравнений, к примеру вот такое уравнение х — 4 = 0, введите следующее:

syms x; solve (‘x -4=0’)

Обратите внимание, что уравнение, которое требуется решить, задано как
строка, то есть взято в одинарные кавычки. Ответ представляет собой точное
(символьное) решение 1+корень(5). Для получения числовых решений введите double
(ans) или vpa (ans), чтобы отобразить больше знаков. Ввод с командой solve
может также быть символьным выражением, но в этом случае программа MATLAB
потребует, чтобы правая часть выражения была заключена в скобки, и
фактически синтаксис решения уравнения х 2 — Зх = -7 будет выглядеть так:

syms x; solve (x^2 — 3*x + 7)

Ответ представляет собой точное (символьное) решение (3 + корень(19i))/2
(сложные числа, где буква i в ответе ставится для мнимой единицы V-1). Для
получения числовых решений введите double (ans) или vpa (ans), чтобы
отобразить больше знаков.
С помощью команды solve можно решать высокоуровневые полиномиальные
(многочленные) уравнения, равно как и многие другие типы уравнений. Можно
также решать уравнения, содержащие более чем одну переменную. Если
уравнений меньше, чем переменных, вам следует определить (как строки), какую
переменную (переменные) требуется вычислить. Например, введите solve ( ‘2*х — log (у) = 1’, ‘у’), чтобы решить уравнение 2х — log у = 1 для
переменной у при условии х. Подобным образом вы можете определить более чем
одно уравнение. Например:

[x, y] = solve (‘x^2 — y = 2’, ‘y — 2*x =5’)

Эта система уравнений имеет два решения. Программа MATLAB выдает решение,
выводя два значения х и два значения у для этих решений. Таким образом,
первое решение состоит из первого значения х и первого значения у. Вы можете
извлечь эти значения, введя в командную строку х (1) и у (1):

Второе решение можно извлечь, введя х (2) и у (2).
Обратите внимание, что в предыдущей команде solve мы назначили вывод в
векторной форме [х, у]. Если вы используете команду solve в системе
уравнений, не задавая вывод в векторной форме, в этом случае программа MATLAB не
отображает автоматически значения решения:

sol = solve (‘x^2 — y = 2’, ‘y — 2*x = 5’)

sol =
х: [2×1 sym]
у: [2×1 sym]

Чтобы увидеть векторы значений х и у, введите sol.x и sol.у. Чтобы увидеть
отдельные значения, введите sol.х (1) и sol.у (1), и т.п.

  • В этом примере вывод результата выполнения команды solve представляет собой структурный массив. Чтобы более подробно познакомиться с этим классом данных

Некоторые уравнения нельзя решить символически, и в таких случаях команда
solve пытается найти числовой ответ. Например:

solve (‘ sin (x) = 2 — x’)

Иногда бывает более одного решения, и вы можете не получить того, что
ожидаете, например:

solve (‘exp (-x) = sin (x) ‘ )

Ответ представляет собой комплексное число. Хотя оно является правильным
решением уравнения, существуют также решения, представленные
вещественными числами. Графики функций ехр (-х) и sin (x) показаны на Рис. 2.3;
каждая точка пересечения двух кривых представляет собой решение уравнения е -х = sin (х).

Вы можете в числовой форме найти (приблизительно) решения, показанные на
графике, с помощью команды fzero, которая ищет нулевое значение данной
функции в пределах заданного значения х. Решение уравнения е -х = sin (x)
равно нулю в функции е -х — sin (x), поэтому, чтобы найти приблизительное
решение при х = 0.5, введите следующее:

h = @(x) exp(-x) — sin(x);
fzero (h, 0.5)

Замените значение 0.5 на 3 и найдите следующее решение, и так далее.

Рис. 2.3. Две пересекающиеся кривые

Поэтому из выше всего сказанного можно сделать вывод, что вам необходимо просмотреть много дополнительной информации и альтернатив!

Решение нелинейных уравнений в Matlab

Доброго времени суток. В этой статье мы разберем решение простых нелинейных уравнений с помощью средств Matlab. Посмотрим в действии как стандартные функции, так и сами запрограммируем три распространенных метода для решения нелинейных уравнений.

Общая информация

Уравнения, которые содержат переменные, находящиеся в степенях, отличающихся от единицы, или имеющие нелинейные математические выражения (корень, экспонента, логарифм, синус, косинус и т.д.), а также имеющие вид f(x) = 0 называются нелинейными. В зависимости от сложности такого уравнения применяют методы для решения нелинейных уравнений.

В этой статье, помимо стандартных функций Matlab, мы рассмотрим следующие методы:

  • Метод перебора
  • Метод простых итераций
  • Метод половинного деления
Читать еще:  Fsolve matlab пример

Рассмотрим коротко их алгоритмы и применим для решения конкретной задачи.

Стандартные функции Matlab

Для решения нелинейных уравнений в Matlab есть функция fzero. Она принимает в качестве аргументов саму функцию, которую решаем, и отрезок, на котором происходит поиск корней нелинейного уравнения.

И сразу же разберем пример:

Решить нелинейное уравнение x = exp(-x), предварительно определив интервалы, на которых существуют решения уравнения.

Итак, для начала следует привести уравнение к нужному виду: x — exp(-x) = 0 , а затем определить интервалы, в которых будем искать решение уравнения. Методов для определения интервалов множество, но так как пример достаточно прост мы воспользуемся графическим методом.

Здесь задали примерные границы по оси x, чтобы можно было построить график и посмотреть как ведет себя функция. Вот график:

Из графика видно, что на отрезке [0;1] есть корень уравнения (там, где y = 0), соответственно в дальнейшем будем использовать этот интервал. Чем точнее выбран интервал, тем быстрее метод придет к решению уравнения, а для сложных уравнений правильный выбор интервала определяет погрешность, с которой будет получен ответ.

С помощью стандартной функции Matlab находим корень нелинейного уравнения и выводим. Теперь для проверки отобразим все это графически:

Как вы видите, все достаточно точно просчиталось. Теперь мы исследуем эту же функцию с помощью других методов и сравним полученные результаты.

Метод перебора Matlab

Самый простой метод, который заключается в том, что сначала задается какое то приближение x (желательно слева от предполагаемого корня) и значение шага h. Затем, пока выполняется условие f(x) * f(x + h) > 0, значение x увеличивается на значение шага x = x + h. Как только условие перестало выполняться — это значит, что решение нелинейного уравнения находится на интервале [x; x + h].

Теперь реализуем метод перебора в Matlab:

Лучше всего создать новый m-файл, в котором и прописать код. После вызова получаем такой вывод:

Функцию объявляем с помощью очень полезной команды inline, в цикле пока выполняется условие отсутствия корней (или их четного количества), прибавляем к x значение шага. Очевидно, что чем точнее начальное приближение, тем меньше итераций необходимо затратить.

Метод простых итераций Matlab

Этот метод заключается в том, что функцию преобразуют к виду: x = g(x). Эти преобразования можно сделать разными способами, в зависимости от вида начальной функции. Помимо этого следует задать интервал, в котором и будет производиться итерационный процесс, а также начальное приближение. Сам процесс строится по схеме xn= g(xn-1). То есть итерационно проходим от предыдущего значения к последующему.

Процесс заканчивается как только выполнится условие: , то есть, как только будет достигнута заданная точность. И сразу же разберем реализацию метода простых итераций в Matlab для примера, который был приведен выше.

Здесь должно быть все понятно, кроме одного: зачем задавать число итераций? Это нужно для того, чтобы программа не зацикливалась и не выполняла ненужные итерации, а также потому что не всегда программа может просчитать решение с нужной точностью — поэтому следует ограничивать число итераций.

А вот и вывод программы:

Очевидно, что метод простых итераций работает гораздо быстрее и получает точное решение.

Метод половинного деления Matlab

Метод достаточно прост: существует отрезок поиска решения [a;b], сначала находят значение функции в точке середины c, где c = (a+b)/2. Затем сравнивают знаки f(a) и f(c). Если знаки разные — то решение находится на отрезке [a;c], если нет — то решение находится на отрезке [c;b]. Таким образом мы сократили область в 2 раза. Такое сокращение происходит и дальше, пока не достигнем заданной точности.

Перейдем к реализации метода в Matlab:

Все самое важное происходит в цикле: последовательно сокращаем область нахождения решения, пока не будет достигнута заданная точность.
Вот что получилось в выводе:

Этот метод хорошо работает, когда правильно определен интервал, на котором находится решение. Тем не менее, метод простых итераций считается наиболее точным и быстрым.

Заключение

Сегодня мы рассмотрели решение нелинейных уравнений в Matlab. Теперь нам известны методы перебора, половинного деления, простых итераций. А также, когда нам не важно реализация метода, то можно использовать стандартную функцию в Matlab.

На этом все — спасибо за внимание. В следующей статье мы разберем решение систем нелинейных уравнений в matlab.

Matlab решение уравнений

предназначена функция fsolve.

Здесь x — вектор и F(x) — функция, которая возвращает значение вектора.

Наиболее полная информация о функции fsolve приведена в справочной системе MATLAB. Здесь приводится только краткое описание.

x = fsolve(fun,x0)
x = fsolve(fun,x0,options)
[x,fval,exitflag] = fsolve(. )
[x,fval,exitflag,output] = fsolve(. )
[x,fval,exitflag,output,jacobian] = fsolve(. )

fsolve находит корни (нули) системы нелинейных уравнений.

Таблица 4-1, Входные аргументы, содержит общее описание аргументов, передаваемых в fsolve. Данный подраздел приводит функционально-специфические детали для fun и options:

Читать еще:  Самоучитель по matlab

Подлежащая решению система уравнений.

fun есть такая функция, которая принимает вектор х и возвращает вектор F, нелинейные уравнения х. Функция fun может задаваться с помощью описателя функций

x = fsolve(@myfun,x0)
где myfun есть такая функция MATLAB, что

function F = myfun(x)
F = . % Расчет значений функции от x
fun так же может быть внутренним объектом.

Если к тому же может быть рассчитан Якобиан и установленная с помощью options = optimset(‘Jacobian’,’on’) опция options.Jacobian равна ‘on’, то функция fun во втором выходном аргументе должна возвращать значение Якобиана J, как матрицы от х.

Опции обеспечивают учет специфических деталей функции виде параметров options.

Таблица ниже содержат общее описание возвращаемых fsolve. аргументов. В этом разделе приводятся общие специфические детали для величин exitflag и output:

Описывает выходные условия.

  • > 0 Данная функция сходится к решению по х.
  • 0 Максимальное число оценки функции или итерации было превышено
  • LargeScale , поскольку она устанавливает преимущественное право, какой алгоритм использовать. Это только преимущественное право, поскольку должны быть выполнены определенные условия для того, что бы можно было использовать крупно-масштабный алгоритм. Для fsolve, поскольку система нелинейных уравнений не может быть недоопределенной, число уравнений (или иначе число возвращаемых fun элементовF) должно быть, по крайней мере, длины х, в противном следует использоваться средне-масштабный алгоритм.

    LargeScale. В случае установки ‘on’ используется, если это возможно, крупно-масштабный алгоритм. Для использования средне-масштабного алгоритма устанавливается значение ‘off’.

    Medium-Scale и Large-Scale Algorithms . Эти параметры используются как для средне-масштабного, так и крупно-масштабного алгоритмов:

    Проводится печать диагностической информации о минимизируемой функции.

    Уровень отображения. ‘off’ отображение не производится, ‘iter’ отображение проводится на каждой итерации, ‘final’ (принимается по умолчанию) отображение только конечной информации.

    При установке ‘on’, fsolve использует заданный пользователем Якобиан (определенный в fun), или информацию об Якобиане (при использовании JacobMult) для целевой функции. При установке ‘off’, fsolve аппроксимирует Якобиан с помощью конечных разностей.

    Максимально число допустимых расчетов функции.

    Максимальное число допустимых итераций.

    Конечное допустимое отклонение по значению функции.

    Конечное допустимое отклонение по значению х.

    Large-Scale Algorithm Only . Эти параметры используются только для крупно-масштабного алгоритма

    Указатель функции для функции множителей Якобиана.

    В случае крупно-масштабной задачи данная функция вычисляет произведение матриц Якобиана J*Y, J’*Y или J’*(J*Y) без действительного формирования J. Такая функция имеет форму

    где Jinfo и дополнительные параметры p1,p2. включают в себя используемые для расчета J*Y (или J’*Y или J’*(J*Y)) матрицы. Первый аргумент Jinfo должен быть таким же, как и возвращаемый целевой функцией fun второй аргумент.

    Переменные p1,p2. есть дополнительные параметры, передаваемые в fsolve (и в fun).

    fsolve (fun. options,p1,p2. )

    Y есть матрица с тем же самым числом строк, что и размерность данной задачи.

    flag определяет какое произведение нужно вычислять.

    If flag == 0 then W = J’*(J*Y).
    If flag > 0 then W = J*Y.
    If flag

    Примечание. ‘Jacobian’ должен быть установлен как ‘on’ для того, чтобы передать Jinfo из fun в jmfun.

    В каждом случае J явно не формируется.

    fsolve использует Jinfo для расчета предварительных данных.

    В качестве примера смотри Нелинейную Оптимизацию с Компактной, но Структурированной Матрицей Гессе и Ограничениями Типа Равенств.

    Разреженные шаблоны Якобиана для конечного дифференцирования. В случае, если в fun неразумно вычислять матрицу Якобиана J, то lsqnonlin может аппроксимировать J через заданные разреженные конечные разности и структура J — т.е. расположение не нулей – обеспечиваются как значения для JacobPattern. В наихудшем случае, когда эта структура неизвестна, можно установить JacobPattern, что бы плотная матрица и полные конечно-разностные аппроксимации вычислялись на каждой итерации (что принимается по умолчанию в случае неустановки JacobPattern). Это может быть чрезвычайно затратным для больших задач, поэтому обычно заслуживает внимания усилие по определению разреженной структуры.

    Максимальное число PCG (предварительно сопряженный градиент) итераций (Смотри ниже раздел Алгоритм).

    Верхняя полоса предварительной обработки для PCG. По умолчанию используется диагональная начальная подготовка (верхняя полоса из 0). Для некоторых задач увеличение полосы снижает число итераций PCG.

    Конечное допустимое число итераций PCG.

    Типичные значения х.

    Medium-Scale Algorithm Only. Эти параметры используются только для средне-масштабного алгоритма.

    Сравнение вводимых пользователем производных (Якобиана) с конечноразностными производными.

    Максимальное изменение в переменных для конечных-разностей.

    Минимальное изменение в переменных для конечных-разностей.

    Выбор алгоритма Левенберга-Макуарда вместо Гаусса-Ньютона.

    Выбор алгоритма линейного поиска.

    Пример 1. В данном примере находятся нули для системы из двух уравнений и двух неизвестных

    Таким образом, необходимо решить следующую систему уравнений от х

    Начнем с точки x0 = [-5 -5].

    Сперва запишем М-файл для расчета F или значений уравнений от х

    Читать еще:  Matlab что значит

    function F = myfun(x)
    F = [2*x(1) — x(2) — exp(-x(1));
    -x(1) + 2*x(2) — exp(-x(2))];

    Далее вызовем подпрограмму оптимизации

    x0 = [-5; -5]; % примем начальное приближение за решение
    options=optimset(‘Display’,’iter’); %Опция выходного отображения
    [x,fval] = fsolve(@myfun,x0,options) % вызов оптимизатора

    после 28 обращений к функциям нули будут найдены.

    Оптимальность первого порядка

    Оптимизация завершена успешно:

    Относительное изменение значений функции меньше, чем в OPTIONS.TolFun

    fval =
    1.0e-008 *
    -0.5320
    -0.5320

    Оптимизация завершена успешно:

    Пример 2. Найти матрицу x, которая удовлетворяет уравнению

    начнем с точки x= [1,1; 1,1].

    Сперва запишем М-файл, необходимый для расчета решаемых уравнений.

    function F = myfun(x)
    F = x*x*x-[1,2;3,4];

    Далее запустим подпрограмму оптимизации

    x0 = ones(2,2); % примем начальное приближение за решение
    options = optimset(‘Display’,’off’); % Выключим отображение
    [x,Fval,exitflag] = fsolve(@myfun,x0,options)

    x =
    -0.1291 0.8602
    1.2903 1.1612

    Fval =
    1.0e-03 *
    0.1541 -0.1163
    0.0109 -0.0243

    и остаток будет близок к нулю.

    sum(sum(Fval.*Fval))
    ans =
    3.7974e-008

    Данный метод основан на алгоритме метода нелинейных среднеквадратичных отклонений, используемого в lsqnonlin. Достоинство используемого метода среднеквадратичных отклонений состоит в том, что данная система уравнений не равна нулю вследствие малых погрешностей и поэтому алгоритм приходит в точку с малым остатком. Однако, если Якобиан системы является вырожденным, то алгоритм может сходиться в точку, не являющуюся решением системы уравнений (Смотри ниже Ограничения и Диагностика).

    Крупно-масштабная оптимизация. По умолчанию fsolve выберет крупно-масштабный алгоритм. Данный алгоритм является реализацией метода доверительных подпространств и основан на методе внутренних отражений Ньютона, описанного в [1], [2]. Каждая итерация включает в себя приближенное решение крупной линейной системы с помощью метода предварительно сопряженных градиентов(PCG).

    Средне-масштабная оптимизация. fsolve при установке options.LargeScale как ‘off’ использует метод Гаусса-Ньютона [3] с линейным поиском. В качестве альтернативы может быть выбран метод Левенберга-Макуарда [4], [5], [6] с линейным поиском. Выбор алгоритма проводится при помощи установки опции options.LevenbergMarquardt. Установка options.LevenbergMarquardt как ‘on’ (и опции options.LargeScale как ‘off’) выбирается метод Левенберга-Макуарда.

    Принимаемый по умолчанию алгоритм линейного поиска, т.е. опция options.LineSearchType установлена как ‘quadcubic’, обеспечивается методом смешанной квадратичной и кубической полиноминальной интерполяции и экстраполяции. Защищенный кубической полиномиальный метод может быть выбран установкой опции LineSearchType как ‘cubicpoly’. В общем случае, данный метод требует меньшего расчета функций, но большего обращения к расчету градиента. Таким образом, если градиенты приведены и могут быть вычислены без больших затрат, то метод с кубическим полиномиальным линейным поиском является предпочтительным.

    fsolve может сходиться к ненулевой точке и давать следующие сообщения:

    Оптимизатор затормозился в точке, которая не является минимумом.

    Повторите расчет с новой начальной точки.

    В этом случае снова выполните fsolve но с другой начальной точки.

    1. Разрешаемая функция должна быть непрерывной. В случае успеха fsolve дает только один корень. fsolve может сходиться к ненулевой точке, то в этом случае необходимо пытаться стартовать с другой точки.
    2. fsolve оперирует только с реальными переменными. Если х имеет комплексные значения, то эти переменные должны быть разделены на мнимую и реальные части.

    Matlab решение уравнений

    Решение систем линейных уравнений

    Метод обратной матрицы: для системы из n уравнений с n неизвестными , при условии что определитель матрицы не равен нулю, единственное решение можно представить в виде . Для того чтобы решить систему линейных уравнений методом обратной матрицы, необходимо выполнить следующие действия:

    • сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов заданной системы;
    • решить систему, представив вектор неизвестных как произведение матрицы, обратной к матрице системы, и вектора свободных членов.

    Дана система уравнений:

    Решаем на MATLAB :

    A=[1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1];

    x=inv(A)*b % Решение системы x = A -1 b

    Решение системы линейных уравнений при помощи метода Гаусса основывается на том, что от заданной системы, переходят к системе эквивалентной, которая решается проще, чем исходная.

    Метод Гаусса состоит из двух этапов:

    • Первый этап — это прямой ход, в результате которого расширенная матрица системы путем элементарных преобразований (перестановка уравнений системы, умножение уравнений на число, отличное от нуля, и сложение уравнений) приводится к ступенчатому виду.
    • На втором этапе (обратный ход) ступенчатую матрицу преобразуют так, бы в первых n столбцах получилась единичная матрица. Последний, n +1 столбец этой матрицы содержит решение системы линейных уравнений.

    Порядок решения задачи в MATLAB следующий:

    • сформировать матрицу коэффициентов и вектор свободных членов заданной системы;
    • сформировать расширенную матрицу системы, объединив и ;
    • используя функцию rref, привести расширенную матрицу к ступенчатому виду;
    • найти решение системы, выделив последний столбец матрицы, полученной в предыдущем пункте;
    • выполнить вычисление ; если в результате получился нулевой вектор, задача решена верно.

    A=[1 -2 1; 2 -5 -1; -7 0 1];

    C=rref ([A b]); %Приведение расширенной матрицы к треугольному виду

    x=C(1:3,4:4) %Выделение последнего столбца из матрицы

  • Ссылка на основную публикацию
    Adblock
    detector